En la explicación de la clase de hoy hemos continuado con el tema de la suma y las restas.
Para comenzar hemos visto como la estructura aditiva, de la que la suma y la resta son representaciones más sencillas, subyace en gran número de conceptos matemáticos, y su desarrollo en el niño ocupa un extenso periodo de tiempo ya que ha de cubrir la transición desde los recuentos informales y las estrategias propias que los niños/as relaizan al margen de su instruccion hasta el uso de datos númericos memorizados y los algoritmos formales de la adición y sustración. Se piensa que todos los problemas que presenten en esta edad con las matemáticas pueden repercurtir a lo largo de sus estudios.
Según Piaget, los conceptos más elementales del número no están completamente desarrollados en lso niños/as de 7 años. Los niños/as van a comenzar a sumar y a restar paso a paso, primero sumara uno, luego dos, luego tres y asi sucesivamente al igual que la resta empezara a restar uno, luego dos....
Definición cardinal de la suma
Dados dos números naturales a, b, se llama suma a+b al cardinal del conjunto AUB, siendo A y B dos conjuntos disjuntos de cardinales a y b, respectivamente.
Definición ordinal o recursiva de la suma
Sumar es contar hacua delante
Restar es contar hacia detrás
- p+0=, para todo número natiural p.
- p + sig(n) = sig (p + n), para p, n E N,
En consecuencua
Para sumar 1 a un número p se toma el sieguente del número p. En definitiva para sumar n al número p se suma tantas veces como indique que n. Si n es 5 pues el siguiente, del siguiente, del siguiente, del siguiente, del siguiente.
Propiedades de las sumas.
- Cierre. La suma de dos números naturales es otro número natural.
- Asociativa. (a+b)+c=a+(b+c), es decir, para sumar tres o más números naturales pueden agruparse de dos en dos como se desee para calcular la suma.
- Commutativa. a+b=b+a, es decir que el resultado de la suma no depende del orden en que se tomen los sumandos.
- Existencia de elemento neutro. El natural 0; a+0=0+a=a, para todo a E N.
Definición cardinal de la resta
Al contrario de la suma la resta no es cerrada, es decir no toda resta de dos números naturales da un número natural, esto sucede cuando de un número natural se intenta restar un número natural mayor.
La resta solo tendrá sentido cuando de un número natural se reste otro de manor igual valor.
A los terminos de una resta se le denomina minuendo al número del cual se resta, y el sustrayendo al número que se resta. Por ejemplo: 3-2, 3 es minuendo y 2 es sustrayendo.
Desde el punto de vista cardinal, ello quiere decir que si a es el cardinal de un conjunto A y b el de un conjunto B, la resta a - b solo tendrá sentido si b es mayor o igual que a. Con esto solo suceden dos situaciones posibles:
- B es un subconjunto de A, (B C A).
- B no es un subconjunto de A, pero al ser Card (B) menor o igual que Card (A), B puede ponerse en correspondencia biunivoca con algún subconjunto B´de A.
Dados dos números naturales a = Card (A), b = Card (B), con b menor o igual que a, se llama resta a - b:
- Al cardinal del complementario de B respecto de A, a - b = Card (B´ A), si B es subconjunto de A.
- Al cardinal del complementario de B´respecto de A, a - b = Card (B´A), si B no es subconjunto de A.
Definición ordinal de la resta
Dados dos números naaturales a, b, con b menor o igual que a, se llma resta a - b al número que se obtiene descontanto el número b a partir de a. Equivalentemente, a - b es el número r tal que b + r = a, es decir, el número de siguientes de b que hay que contar para llegar a a.
Propiedades de la resta
- No es cerrada: La resta de dos números naturales, en general, no es otro número natural.
- No es asociativa: (a-b)-c no es igual a a - (b-c).
- No es commutativa: a - b es distinto de b - a.
- Carece de elemento neutro: a - 0=a y 0 - a carece de sentido.
Los algoritmos
Los algoritmos de la suma y la resta se basan en las propiedades de ambas y del sistema de numeración habitual en base 10.
Este sistema de numeración es:
- Posicional: el valor de cada cifra del número depende del lugar que ocupa.
- Aditivo: el valor del número es la suma de sus distintos órdenes de unidades.
